PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

PERSAMAAN EKSPONEN

Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan eksponen dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi, atau persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.

A.  Bentuk  af(x) = ag(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok (basis) yang sama pada kedua ruas, yaitu a dan nilainya konstan. Namun pangkatnya berbeda, yaitu f(x) dan g(x). Satu-satunya kondisi agar persamaan tersebut bernilai benar adalah ketika pangkatnya sama, yaitu ketika f(x) = g(x).

 Sifat A  Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.

Jika af(x) = ag(x) maka f(x) = g(x)

 Contoh 1 

Tentukan penyelesaian dari 22x-7 = 81-x

Jawab :

Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.

22x-7 = 81-x

22x-7 = (23)1-x

22x-7 = 23-3x

Karena basisnya sama, berdasarkan sifat A diperoleh

2x - 7 = 3 - 3x

5x = 10

x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2

B.  Bentuk  af(x) = bf(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b dan keduanya konstan. Namun, kedua pangkatnya sama, yaitu f(x). Untuk a, b ≠ 0, maka a0 = 1 dan b0 = 1. Akibatnya a0 = b0, untuk a, b ≠ 0. Jadi, agar persamaan af(x) = bf(x) bernilai benar, haruslah f(x) = 0.

 Sifat B  Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika af(x) = bf(x) maka  f(x) = 0

 Contoh 2 

Tentukan penyelesaian dari 32x-2 = 5x-1

Jawab :

Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :

32x-2 = 5x-1

32(x-1) = 5x-1

9x-1 = 5x-1

Berdasarkan sifat B, maka

x - 1 = 0

x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1

C.  Bentuk  af(x) = bg(x)

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b yang nilainya konstan. Dan pangkatnya juga berbeda yaitu f(x) dan g(x). Solusi dari bentuk seperti ini dapat kita tentukan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.

 Sifat C  Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika af(x) = bg(x) maka log af(x) = log bg(x) 

 Contoh 3 

Tentukan penyelesaian dari (

2

3

23)x = 61-x

Jawab :

Basis pada kedua ruas persamaan diatas berbeda, begitu pula pangkatnya. Berdasarkan sifat C, maka

log  (

2

3

23)x = log 61-x

x log (

2

3

23) = (1 - x) log 6       log an = n log a

x log (

2

3

23) = log 6 - x log 6    

x log (

2

3

23) + x log 6 = log 6

x (log (

2

3

23) + log 6) = log 6

x log 4 = log 6                    log a + log b = log (ab)

x = 

l

o

g

6

l

o

g

4

log6log4

x = 4log 6

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4log 6

D.  Bentuk  f(x)g(x) = 1

Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

Karena 1g(x) = 1 benar untuk setiap g(x), maka f(x)g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = 1.

Karena (-1)g(x) = 1 benar jika g(x) genap, maka f(x)g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap.

Karena f(x)0 = 1 benar jika f(x) ≠ 0, maka f(x)g(x) = 1 akan bernilai benar ketika g(x) = 0 dengan syarat f(x) ≠ 0.

 Sifat D  Jika f(x)g(x) = 1 maka   

(1)  f(x) = 1 

(2)  f(x) = -1,  dengan syarat g(x) genap

(3)  g(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0

 Contoh 4 

Tentukan HP dari (2x + 3)x-1 = 1

Jawab :

Misalkan : f(x) = 2x + 3  dan  g(x) = x - 1

Solusi 1 : f(x) = 1

2x + 3 = 1

2x = -2

x = -1  ✔

Solusi 2 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap

2x + 3 = -1

2x = -4

x = -2  ✘

Periksa :

Untuk x = -2  →  g(x) = -2 - 1 = -3  (ganjil)

Karena g(x) ganjil, maka x = -2 tidak memenuhi.

Solusi 3 : g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0

x - 1 = 0

x = 1  ✔

Periksa :

Untuk x = 1  →  f(x) = 2(1) + 3 = 5 ≠ 0.

Karena f(x) ≠ 0, maka x = 1 memenuhi.

HP = {-1, 1}

E.  Bentuk  f(x)h(x) = g(x)h(x) 

Persamaan eksponen diatas memuat bilangan pokok yang berbeda, yaitu f(x) dan g(x), namun kedua pangkatnya sama, yaitu h(x). Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

Karena pangkatnya sama, haruslah bilangan pokoknya juga sama, yaitu f(x) = g(x).

Dua buah bilangan yang berlainan tanda, jika dipangkatkan bilangan genap yang sama akan menghasilkan bilangan yang sama. Sebagai ilustrasi, (2)h(x) = (-2)h(x)  bernilai benar ketika h(x) genap. Jadi, persamaan f(x)h(x) = g(x)h(x)  akan bernilai benar jika f(x) = -g(x) dengan syarat h(x) genap.

Untuk f(x) dan g(x) ≠ 0, maka f(x)0 = 1 dan g(x)0 = 1. Akibatnya, f(x)0 = g(x)0  ketika f(x) dan g(x) ≠ 0. Jadi, persamaan f(x)h(x) = g(x)h(x)  akan bernilai benar jika h(x) = 0 asalkan f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0.

 Sifat E  Jika f(x)h(x) = g(x)h(x) maka   

(1)  f(x) = g(x)

(2)  f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap

(3)  h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

 Contoh 5 

Tentukan HP dari (2x + 1)x-6 = (x + 5)x-6

Jawab :

Misalkan : f(x) = 2x + 1,  g(x) = x + 5  dan  h(x) = x - 6

Solusi 1 : f(x) = g(x)

2x + 1 = x + 5

x = 4  ✔

Solusi 2 : f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap

2x + 1 = -(x + 5)

2x + 1 = -x - 5

3x = -6

x = -2  ✔

Periksa :

Untuk x = -2  →  h(x) = -2 - 6 = -8 (genap)

Karena h(x) genap, maka x = -2 memenuhi.

Solusi 3 : h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

x - 6 = 0

x = 6  ✔

Periksa : Untuk x = 6 maka

f(x) = 2(6) + 1 = 13 ≠ 0

g(x) = 6 + 5 = 11 ≠ 0

Karena keduanya ≠ 0, maka x = 6 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai nol, maka x = 6 tidak memenuhi.

∴ HP = {-2, 4, 6}