PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT SIFATNYA

 Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan jenis eksponen yang memiliki variabel. Ternyata, pertidaksamaan eksponen memiliki dua bentuk umum lho, yaitu sebagai berikut.

Untuk menentukan solusi pertidaksamaan eksponen seperti pertidaksamaan di atas, ikuti langkah berikut.

Bentuk eksponen harus diuraikan sampai diperoleh bentuk yang sama. Uraikan berdasarkan sifat-sifat eksponen.

Gunakan permisalan bentuk eksponen dengan variabel tertentu.

Selesaikan pertidaksamaannya menggunakan konsep pertidaksamaan sampai diperoleh interval untuk permisalannya.

Susbtitusikan nilai balik yang diperoleh pada permisalan.

Agar Quipperian tambah paham dengan pertidaksamaan eksponen, perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen 493x-4 > 7x2!

Pembahasan:

Untuk menentukan solusinya, Quipperian harus menyamakan basis pada kedua ruas. Berdasarkan sifat-sifat eksponen diperoleh:

Oleh karena a = 7 > 1, maka berlaku:

Titik pembuat nol x = 4 dan x = 2.

Selanjutnya, Quipperian harus menempatkan titik pembuat nol dalam garis bilangan. Kemudian, tentukan tanda daerahnya dengan titik uji. Oleh karena tanda pertidaksamannya “<”, maka bulatannya kosong dan titik pembuat nol tidak termasuk dalam nilai x.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen di atas adalah {x|x ∈ R, 2 < x < 4}.

Dalam bentuk pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan eksponen dapat diketahui sebagai berikut:

Untuk a>1

Jika a^{f(x)}>a^{g(x)}, maka f(x)>g(x)

Contoh:

2^{3x}>2^6

Maka:

3x > 6

Jika a^{f(x)}<a^{g(x)}, maka f(x)<g(x)

Contoh:

2^{3x}<2^6

Maka:

 3x<6

Jika a^{f(x)}\ge a^{g(x)}, maka f(x) \ge g(x)

Contoh:

2^3 \ge 2^6

Maka:

3x \ge 6

Jika a^{f(x)}\le a^{g(x)}, maka f(x)\le g(x)

Contoh:

2^{3x} \le 2^6

Maka:

3x \le 6

Untuk 0 < a < 1

Jika a^{f(x)} > a^{g(x)}, maka f(x)<g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} > \frac{1}{2}^6

Maka:

3x < 6

Jika a^{f(x)} < a^{g(x)}, maka f(x) > g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} < \frac{1}{2}^6

Maka:

3x > 6

Jika a^{f(x)} \ge a^{g(x)}, maka f(x)\le g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} \ge \frac{1}{2}^{6}

Maka:

3x\le 6

Jika a^{f(x)} \le a^{g(x)}, maka f(x) \ge g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} \le \frac{1}{2}^6

Maka:

3x \ge 6

Contoh Soal Persamaan Eksponen, Pertidaksamaan Eksponen, dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Akar-akar persamaan 5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0 adalah x_1 dan x_2.

Jika x_1 < x_2, maka tentukan nilai 2x_1 + x_2 (UN 2008)

Pembahasan

5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5^{2(x+1)+1} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5((5^{x+1})^2) - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

Misalkan 5^{x+1} = y, maka

5(y^2) - 6(y) + 1 = 0

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

y_{1,2} = \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2 - 4(5)(1)}}{2(5)}

y_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{10}

sehingga y_1 = \frac{1}{5} dan y2 = 1.

Disubstitusi dalam 5^{x+1} = y menjadi

5^{x+1} = \frac{1}{5} = 5^{-1}

x+1 = -1 \longrightarrow x_1 = -2

5^{x+1} = 1 = 5^0

x+1 = 0 \longrightarrow x_2 = -1

Sehingga,

2x_1 + x_2 = 2 (-2)+(-1) = -5

Contoh Soal 2

Jika x>0 dan x\ne 1 memenuhi \frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = x^p, serta p bilangan rasional, maka p adalah

(SPMB 2002)

Pembahasan

Dilakukan penyederhanaan di dalam akar:

\frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x(x)^{\frac{1}{3}}}} = x^p

= \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{1+\frac{1}{3}}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{\frac{4}{3}}}}

Akar dirubah menjadi pangkat:

= \frac{x}{((x)^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}}} = \frac{x}{((x)^{\frac{4}{9}})}

Bentuk pecahan disederhanakan menjadi:

x(x)^{-\frac{4}{9}} = x^p

(x)^{1-\frac{4}{9}} = x^p

Maka

p = 1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

Contoh Soal 3

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen 3^{-x^2+3x} \le 1 adalah:

Pembahasan

3^{-x^2 + 3x} \le 1

3^{-x^2 + 3x} \le 3^0

Sehingga,

-x^2 + 3x \le 0

x(-x + 3) \le 0

Diperoleh,

x_1 = 0 dan x_2 = 3

Untuk mendapat penyelesaiannya, ambil sembarang nilai x diantara rentang 0<x<3 kemudian disubstitusikan kedalam bentuk -x^2 + 3x \le 0. Misal ambil x = 1.

-(1)^2 + 3(1) \le 0

- 1 + 3 \le 0

2 \le 0 (tidak sesuai)

Karena tidak sesuai, maka area penyelesaian ada di luar rentang 0<x<3, sehingga didapat penyelesaiannya adalah

x\le 0 dan x\le 3

PERSAMAAN EKSPONEN

SIFAT bx=by  Jika dan Hanya Jika x=y dg b > 0 dan b ≠ 1

42x−1=64  42x−1=43  2x–1=3  2x=4  x=2

SIFAT f(x) g(x) = f(x) g(x) maka: (1) g(x) = h(x), (2) f(x) = 1, (3) f(x) = -1, dengan syarat g(x) dan h(x) sama-sama genap atau ganjil, (4) f (x) = 0, dengan syarat g(x), h(x) > 0.

(x – 2)x^2-2x = (x – 2)x+4, Kondisi (1) nya  x2 – 2x = x + 4  x2 – 3x – 4 = 0  (x – 4)(x + 1) = 0  x = 4 dan x = – 1, Kondisi (2) nya (x – 2) = 1  x – 2 = 1  x = 3, Kondisi (3) nya (x – 2) = – 1  x – 2 = – 1  x = 1, Kondisi (4) nya (x – 2) = 0  x – 2 = 0  x = 2 tetapi karena g(x) > 0  22 – 2.2 = 0 bukan > 0 maka tidak Hp, dari ke-4 kondisi diperoleh Himpunan Penyelesaian x adalah Hp =  {– 1, 1, 3, 4}

SIFAT af(x) = 1 ↔ f(x) = 1, (1)  a = 1 , (2)  a = -1,  dengan syarat f(x) genap, (3)  f(x) = 0,  dengan syarat a ≠ 0

(2x + 3)x – 1  = 1  Kondisi (1) (2x + 3) = 1  2x + 3 = 1  2x = – 2  x = – 1, Kondisi (2) (2x + 3) = – 1  2x + 3 = – 1  2x = – 4  x = – 2 karena  pada  x  - 1 =  – 2 – 1 hasilnya tidak genap maka bukan Hp, Kondisi (3) (x–1) = 0  x – 1 = 0  x = 1   jadi Hp {– 1, 1} 

SIFAT af(x) = bf(x) ↔ f(x) = 0  dengan a, b > 0 dan a, b ≠ 1

3 2x – 2 = 5 x – 1  krn beda pangkat maka ubah jadi sama 3 2(x – 1) = 5x – 1  9 x – 1 = 5 x – 1 dan pangkatnya sudah sama maka  (x–1)=0  x–1=0  x = 1   

SIFAT af(x) = bg(x) ↔ log af(x) = log bg(x)

(2/3)x = 61-x   log (2/3)x = log 6 1 – x   x log (2/3) = (1 - x) log 6 DASARNYA log an = n log a  x log (2/3) = log 6 - x log 6  x log (2/3) + x log 6 = log 6  x (log (2/3) + log 6) = log 6  x log 4 = log 6 DASARNYA  log a + log b = log (ab)  x = log6/log4  x = 4log 6  Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4log 6      

SIFAT  p . a 2 f(x) + q . a f(x) + r = 0 dimisalkan a f(x) = L maka persamaannya menjadi p . L 2 + q . L + r = 0

22x - 3. 2x+1 + 8 = 0  22x - 3. 2x+1 + 8 = 0    (2x)2 - 3. 2x . 21 + 8= 0   (2x)2 - 6(2x) + 8 = 0   Misalkan 2x = p, sehingga   p2 - 6p + 8 = 0   (p - 2)(p - 4) = 0  p = 2 atau p = 4   Untuk p = 2   2x = 2  2x = 21    x = 1    Untuk p = 4    2x = 4   2x = 22     x = 2, Jadi, HP = {1, 2}